Question

某電器公司生產A種型號的家庭電器.1996年平均每臺電腦生產成本為5 000元，并以純利潤20%標定出廠價.1997年開始，公司更新設備，加強管理，逐步推行股份制，從而使生產成本逐年降低.2000年平均每臺A種型號的家庭電腦盡管出廠價僅是1996年出廠價的80%，但卻實現了純利潤50%的高效益．求
（1）2000年每臺電腦的生產成本；
（2）以1996年的生產成本為基數，用二分法求1996年～2000年生產成本平均每年降低的百分數（精確到0.01）．

Answer 1

分析：第（1）問是價格和利潤的問題，銷售總利潤可以按每臺來算也可以按實現50%的利潤來算，從而找出等量關系；
第（2）問是增長率問題，要注意列出方程后，用二分法求解，但應用二分法時注意合理使用計算器．

解答：解：（1）設2000年每臺電腦的成本為p元，根據題意，得p（1+50%）=5 000×（1+20%）×80%，解得p=3 200（元）．故2000年每臺電腦的生產成本為3 200元．
（2）設1996年～2000年間每年平均生產成本降低的百分率為x，
根據題意，得5000（1-x）⁴=3 200（0＜x＜1）．
令f（x）=5 000（1-x）⁴-3 200，作出x、f（x）的對應值表，如下表：

x	0	0.15	0.3	0.45	0.6	0.75	0.9	1.05
f（x）	1 800	-590	-2 000	-2 742	-3 072	-3 180	-3 200	-3 200

觀察上表，可知f（0）•f（0.15）＜0，說明此函數在區間（0，0.15）內有零點x₀．
取區間（0，0.15）的中點x₁=0.075，用計算器可算得f（0.075）≈460．
因為f（0.075）•f（0.15）＜0，所以x₀∈（0.075，0.15）．
再取（0.075，0.15）的中點x₂=0.112 5，用計算器可算得f（0.112 5）≈-98．
因為f（0.075）•f（0.112 5）＜0，所以x₀∈（0.075，0.112 5）．
同理，可得x₀∈（0.009 375，0.112 5），x₀∈（0.103 125，0.112 5），x₀∈（0.103 125，0.107 812 5），x₀∈（0.105 468 75，0.107 812 5）．
由于|0.107 812 5-0.105 468 75|=0.002 343 75＜0.01，
此時區間（0.105 468 75，0.107 812 5）的兩個端點精確到0.01的近似值都是0.11，
所以原方程精確到0.01的近似解為0.11．
1996年～2000年生產成本平均每年降低的百分數為11%．

點評：本題主要考查建立函數模型的能力和用二分法來解函數模型方法．