Question

已知定點(diǎn)F（0，1）和直線l₁：y=-1，過定點(diǎn)F與直線l₁相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)C．
（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）若A，B是所求軌跡上的兩個(gè)點(diǎn)，滿足OA⊥OB（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．
（3）過點(diǎn)F的直線l₂交軌跡于兩點(diǎn)P、Q，交直線l₁于點(diǎn)R，求

RP

•

RQ

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l₁的距離，依據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l₁為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而求得其軌跡方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+b代入拋物線方程，利用OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)出直線l₂的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而可得點(diǎn)R的坐標(biāo)，表示出

RP

•

RQ

，根據(jù)均值不等式求得其最小值．

解答：（1）解：由題設(shè)點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l₁的距離，
∴點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l₁為準(zhǔn)線的拋物線．
∴所求軌跡的方程為x²=4y．
（2）證明：由已知，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b代入拋物線方程x²=4y，并整理得x²-4kx-4b=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
因?yàn)镺A⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，即b²-4b=0，解得，b=4或b=0（舍去），
所以直線AB過定點(diǎn)（0，4）．
（3）解：由題意直線l₂的方程為y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x²-4kx-4=0．
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
∵直線PQ的斜率k≠0，易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為（-

2

k

，-1），

RP

•

RQ

=（x₁+

2

k

）（x₂+

2

k

）+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+（

2

k

+2k）（x₁+x₂）+

4

k2

+4
=-4（1+k²）+4k（

2

k

+2k）+

4

k2

+4=4（k²+

1

k2

）+8，
∵k²+

1

k2

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)取到等號(hào)．
∴

RP

•

RQ

≥4×2+8=16，即

RP

•

RQ

的最小值為16．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查拋物線方程的求解，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．