Question

已知定點F（0，1）和定直線l：y=-1，過定點F與定直線l相切的動圓的圓心為點C
（1）求動圓的圓心C的軌跡W的方程；
（2）設點P是W上的一動點，求PF的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設圓心C（x，y），利用條件過定點F與定直線l相切的動圓建立方程，可求軌跡方程．
（2）設中點M（x，y），利用與P，F的關系，通過代入法建立方程，從而可求M的軌跡方程．

解答：解：（1）設C（x，y），因為圓C定點F與定直線l相切，所以|CF|=|x+1|，即圓心C到定點和直線y=-1的距離相等．
軌跡拋物線的定義可知，C的軌跡是以F為焦點，y=-1為準線的拋物線，設拋物線方程為x²=2py，其中

p

2

=1，
所以p=2，即拋物線方程為x²=4y．
（2）設PF的中點M（x，y），P（x₁，y₁），則由中點坐標公式可得

x= x1 2 y= y1+1 2

，即

x1=2x y1=2y-1

，
代入拋物線方程x²=4y，
得（2x）²=4（2y-1），即x²=2y-1，
所以PF的中點M的軌跡方程為x²=2y-1．

點評：本題的考點是軌跡方程的求法，通過拋物線的定義可確定軌跡方程，利用代入法求動點軌跡也是一種基本的方法，要求熟練掌握．