Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱A₁A⊥底面ABC，且各棱長均相等．D，E，F分別為棱AB，BC，A₁C₁的中點．
（1）證明EF∥平面A₁CD；
（2）證明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）連接ED，證明四邊形A₁DEF是平行四邊形，可得EF∥A₁D．利用線面平行的判定定理，即可證明EF∥平面A₁CD；
（2）證明CD⊥面A₁ABB₁，即可證明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁．

解答： 證明：（1）連接ED，∵ED∥AC，ED=

1

2

AC 
又∵F為A₁C₁的中點．
∴A₁F∥DE，A₁F=DE
∴四邊形A₁DEF是平行四邊形
∴EF∥A₁D
又A₁D?平面A₁CD，EF?平面A₁CD
∴EF∥平面A₁CD      　…（4分）
（2）∵A₁A⊥平面ABC，
∴A₁A⊥CD
∵D是AB的中點，
∴AB⊥CD
∴CD⊥面A₁ABB₁，
∴平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁．…（8分）

點評：本題考查線面平行，面面垂直，正確運用線面平行，面面垂直的判定定理是關鍵．