Question

如圖，直線l1：y=kx+1-k(k≠0，k≠±

1

2

)與l2：y=

1

2

x+

1

2

相交于點P．直線l₁與x軸交于點P₁，過點P₁作x軸的垂線交直線l₂于點Q₁，過點Q₁作y軸的垂線交直線l₁于點P₂，過點P₂作x軸的垂線交直線l₂于點Q₂，…，這樣一直作下去，可得到一系列點P₁、Q₁、P₂、Q₂，…，點P_n（n=1，2，…）的橫坐標構成數列{x_n}．
（Ⅰ）證明xn+1-1=

1

2k

(xn-1)，n∈N*；
（Ⅱ）求數列{x_n}的通項公式；
（Ⅲ）比較2|PP_n|²與4k²|PP₁|²+5的大小．

Answer 1

分析：（I）由題意及各點的產生情況直線l₁與x軸交于點P₁，過點P₁作x軸的垂線交直線l₂于點Q₁，過點Q₁作y軸的垂線交直線l₁于點P₂，過點P₂作x軸的垂線交直線l₂于點Q₂，…，這樣一直作下去，可得到一系列點P₁、Q₁、P₂、Q₂，…，點P_n（n=1，2，…）的橫坐標構成數列{x_n}，讀懂它即可得證；
（II）因為已知的直線l₁方程且知直線l₁與x軸交于點P₁，可以求出點P₁，在有（I）的證明結論可以得到數列{x_n}的遞推關系利用構造法求出其通項；
（III）先由題意得到點P的坐標為（1，1），在有兩點間的距離的公式得2|PP_n|²的式子，有式子與4k²|PP₁|²+5比較大小．

解答：解：（Ⅰ）證明：設點P_n的坐標是（x_n，y_n），由已知條件得
點Q_n、P_n+1的坐標分別是：(xn，

1

2

xn+

1

2

)，(xn+1，

1

2

xn+

1

2

)．
由P_n+1在直線l₁上，得

1

2

xn+

1

2

=kxn+1+1-k．
所以

1

2

(xn-1)=k(xn+1-1)，即xn+1-1=

1

2k

(xn-1)，n∈N*．
（Ⅱ）由題設知x1=1-

1

k

，x1-1=-

1

k

≠0，又由（Ⅰ）知xn+1-1=

1

2k

(xn-1)，
所以數列{x_n-1}是首項為x₁-1，公比為

1

2k

的等比數列．
從而xn-1=-

1

k

×(

1

2k

)n-1，即xn=1-2×(

1

2k

)n，n∈N*．
（Ⅲ）解：由

y=kx+1-k y= 1 2 x+ 1 2

得到點P的坐標為（1，1），
所以2|PPn|2=2(xn-1)2+2(kxn+1-k-1)2=8×(

1

2k

)2n+2(

1

2k

)2n-2，4k2|PP1|2+5=4k2[(1-

1

k

-1)2+(0-1)2]+5=4k2+9．
（i）當|k|＞

1

2

，即k＜-

1

2

或k＞

1

2

時，4k²|PP₁|²+5＞1+9=10．
而此時0＜|

1

2k

|＜1，所以2|PPn|2＜8×1+2=10．故2|PPn|2＜4k2|PP1|2+5．
（ii）當0＜|k|＜

1

2

，即k∈(-

1

2

，0)∪(0，

1

2

)時，4k²|PP₁|²+5＜1+9=10．
而此時|

1

2k

|＞1，所以2|PPn|2＞8×1+2=10．故2|PPn|2＞4k2|PP1|2+5．

點評：此題重點考查了對于題意的準確理解，還考查了兩點間的距離公式及構造法求數列的通項公式，此外還考查了比較含字母的式子的大小分類討論的思想．