Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，數列{S_n}的前n項和為T_n，滿足T_n＝2S_n－n²，n∈N^*.
(1)求a₁的值；
(2)求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

（1）a₁＝1.（2）a_n＝3·2^n－1－2

(1)當n＝1時，T₁＝2S₁－1².因為T₁＝S₁＝a₁，所以a₁＝2a₁－1，解得a₁＝1.
(2)當n≥2時，S_n＝T_n－T_n－1＝2S_n－n²－[2S_n－1－
(n－1)²]＝2S_n－2S_n－1－2n＋1，所以S_n＝2S_n－1＋2n－1，   ①
所以S_n＋1＝2S_n＋2n＋1，②
②－①得a_n＋1＝2a_n＋2.
所以a_n＋1＋2＝2(a_n＋2)，即＝2(n≥2)． (*)
當n＝1時，a₁＋2＝3，a₂＋2＝6，則＝2.
所以，當n＝1時，適合(*)式，所以{a_n＋2}是以3為首項，2為公比的等比數列．
則a_n＋2＝3·2^n－1，所以a_n＝3·2^n－1－2.