Question

在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c=2，C=

π

3

．
（Ⅰ）若△ABC的面積等于

3

，求a，b；
（Ⅱ）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先通過余弦定理求出a，b的關系式；再通過正弦定理及三角形的面積求出a，b的另一關系式，最后聯立方程求出a，b的值．
（Ⅱ）通過C=π-（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B-A）=2sin2A，求出∴sinBcosA=2sinAcosA．當cosA=0時求出a，b的值進而通過

1

2

absinC求出三角形的面積；當cosA≠0時，由正弦定理得b=2a，聯立方程解得a，b的值進而通過

1

2

absinC求出三角形的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵c=2，C=

π

3

，c²=a²+b²-2abcosC
∴a²+b²-ab=4，
又∵△ABC的面積等于

3

，
∴

1

2

absinC=

3

，
∴ab=4
聯立方程組

a2+b2-ab=4 ab=4

，解得a=2，b=2
（Ⅱ）∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A=4sinAcosA，
∴sinBcosA=2sinAcosA
當cosA=0時，A=

π

2

，B=

π

6

，a=

4 3

3

，b=

2 3

3

，求得此時S=

2 3

3

當cosA≠0時，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，
聯立方程組

a2+b2-ab=4 b=2a

解得a=

2 3

3

，b=

4 3

3

．
所以△ABC的面積S=

1

2

absinC=

2 3

3

綜上知△ABC的面積S=

1

2

absinC=

2 3

3

點評：本小題主要考查三角形的邊角關系，三角函數公式等基礎知識，考查綜合應用三角函數有關知識的能力．