Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）=-f（x+4），且當x＞2時，f（x）單調遞增，若x₁+x₂＜4，（x₁-2）（x₂-2）＜0，則f（x₁）+f（x₂）的值 ________．（判斷符號）

Answer 1

恒為負
分析：題設中條件眾多，欲判斷f（x₁）+f（x₂）的符號，有兩種可能一是-f（x₁）＞f（x₂），一是-f（x₁）＜f（x₂），又f（-x）=-f（x+4），令x=-x₁，即得f（x₁）=-f（4-x₁），由此問題轉化為比較f（4-x₁）與f（x₂）的大小比較，由題設條件易證
解答：設x₁＜x₂，由（x₁-2）（x₂-2）＜0
得x₁＜2，x₂＞2，再由x₁+x₂＜4得
4-x₁＞x₂＞2，
因為x＞2時，f（x）單調遞增，
所以f（4-x₁）＞f（x₂），
又f（-x）=-f（x+4），取x=-x₁得f（x₁）=-f（4-x₁），
所以-f（x₁）＞f（x₂），
即f（x₁）+f（x₂）＜0，
故答案為恒為負
點評：本題考點是抽象函數及其應用，考查根據抽象函數的性質進行靈活變形，轉化證明的能力，本題對靈活轉化的能力要求較高，依據條件靈活轉化是一種數學素養較高的表現．