Question

設函數y=f（x），且lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）
（1）求函數y=f（x）的解析式及定義域；
（2）討論函數y=f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）根據對數的運算法則，可得lg（lgy）=lg[3x（3-x）]（0＜x＜3），注意函數的定義域，即lgy=3x（3-x），再利用指數和對數的互化即可求得求f（x）的解析式，定義域；
（2）根據復合函數的單調性進行判斷，根據“同增異減”的法則，分別研究內外函數的單調性，從而確定函數f（x）的單調性．

解答：解：（1）∵lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）
∴lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）=lg[3x（3-x）]（0＜x＜3），
∴lgy=3x（3-x），
∴f（x）=10^3x（3-x），x∈（0，3）；
（2）由（1）可知，f（x）=10^3x（3-x），x∈（0，3），
令u=3x（3-x）=-3（x-

3

2

）²+

27

4

，
對稱軸為x=

3

2

，根據二次函數的性質，
u在（0，

3

2

]上單調遞增，在[

3

2

，3）上單調遞減，
∵y=10^u是R上的增函數，
∴f（x）在（0，

3

2

]上單調遞增，在[

3

2

，3）上單調遞減．

點評：本題考查了求函數的解析式，求函數解析式常見的方法有：待定系數法，換元法，湊配法，消元法等．考查了函數的定義域及其求法，對于函數的定義域是指使得函數的解析式有意義的取值范圍，要熟悉基本初等函數的定義域以及常見函數的限制條件．同時考查了函數單調性的判斷與證明，注意一般單調性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設值，作差，化簡，定號，下結論．屬于中檔題．