Question

（本小題滿分13分）已知函數，其中.

（Ⅰ）若曲線在點處的切線方程為，求函數的解析式；

（Ⅱ）討論函數的單調性；（Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  在，內是增函數，在，內是減函數．   （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）解：，由導數的幾何意義得，于是．

由切點在直線上可得，解得．

所以函數的解析式為．       5分

（Ⅱ）解：．當時，顯然（）．這時在，上內是增函數．當時，令，解得．

當變化時，，的變化情況如下表：    

所以在，內是增函數，在，內是減函數． 10分

（Ⅲ）：由（Ⅱ）知，在上的最大值為與的較大者，對于任意的，不等式在上恒成立，當且僅當，即，對任意的成立．

從而得，所以滿足條件的的取值范圍是．   16分