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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知定義域為的函數同時滿足以下三個條件:
(1) 對任意的,總有;(2);(3) 若,且,則有成立,則稱為“友誼函數”,請解答下列各題:
(1)若已知為“友誼函數”,求的值;
(2)函數在區間上是否為“友誼函數”?并給出理由.
(3)已知為“友誼函數”,假定存在,使得, 求證:.
(1)(2)是友誼函數(3)見解析.

試題分析:(1)利用賦值法由,再由,所以(2)分別驗證(1)由指數函數的性質在區間上的最小值為0,(2)直接帶入驗證易得(3)利用做差法直接比較  (3) 先利用單調性的定義證明抽象函數的單調性,然后再證明
, 又由
 
(2)顯然上滿足(1) ;(2).(3)若,且,則有
滿足條件(1)、(2)、(3),所以為友誼函數.
(3)由 (3)知任給其中,且有,不妨設

所以:.
下面證明:(i)若,則有
,則,這與矛盾;
(2)若,則,這與矛盾;   
綜上所述:
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

(12分)(2011•福建)設函數f(θ)=,其中,角θ的頂點與坐標原點重合,始邊與x軸非負半軸重合,終邊經過點P(x,y),且0≤θ≤π.
(Ⅰ)若點P的坐標為,求f(θ)的值;
(Ⅱ)若點P(x,y)為平面區域Ω:上的一個動點,試確定角θ的取值范圍,并求函數f(θ)的最小值和最大值.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

(2011•湖北)(1)已知函數f(x)=lnx﹣x+1,x∈(0,+∞),求函數f(x)的最大值;
(2)設a1,b1(k=1,2…,n)均為正數,證明:
①若a1b1+a2b2+…anbn≤b1+b2+…bn,則≤1;
②若b1+b2+…bn=1,則≤b12+b22+…+bn2

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數
(1)計算的值;
(2)若關于的不等式:在區間上有解,求實數的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數f(x)的圖象與函數h(x)=x++2的圖象關于點A(0,1)對稱.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)+,g(x)在區間(0,2]上的值不小于6,求實數a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

某地一漁場的水質受到了污染.漁場的工作人員對水質檢測后,決定往水中投放一種藥劑來凈化水質. 已知每投放質量為個單位的藥劑后,經過x天該藥劑在水中釋放的濃度y(毫克/升)滿足y=mf(x),其中,當藥劑在水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)時稱為有效凈化;當藥劑在水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)時稱為最佳凈化.
(1)如果投放的藥劑質量為m=6,試問漁場的水質達到有效凈化一共可持續幾天?
(2)如果投放的藥劑質量為m,為了使在8天(從投放藥劑算起包括第8天)之內的漁場的水質達到最佳凈化,試確定應該投放的藥劑質量m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

f(x)=3x+sinx+1(x∈R),若f(t)=2,則f(-t)的值為________.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

函數y=,x∈(-π,0)∪(0,π)的圖象可能是下列圖象中的(  )
  

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

(2013•天津)設a+b=2,b>0,則當a= _________ 時,取得最小值.

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