Question

已知扇形AOB的半徑等于1，∠AOB=120°，P是圓弧

AB

上的一點．
（1）若∠AOP=30°，求

OP

•

AB

的值．
（2）若

OP

=λ

OA

+μ

OB

，①求λ，μ滿足的條件；②求λ²+μ²的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數量積的運算

專題：解三角形

分析：（1）由題意確定出∠BOP為直角，即OP與OB垂直，得到數量積為0，原式變形后，利用平面向量數量積運算法則計算即可得到結果；
（2）①利用余弦定理列出關系式，利用平面向量的數量積運算法則及特殊角的三角函數值化簡，整理即可得到λ，μ滿足的條件；②利用基本不等式求出λ²+μ²的取值范圍即可．

解答： 解：（1）∵∠AOP=30°，∠AOB=120°，
∴∠BOP=∠AOB-∠AOP=120°-30°=90°，
∴

OP

•

OB

=0，
則

OP

•

AB

=

OP

•（

OB

-

OA

）=

OP

•

OB

-

OP

•

OA

=-cos30°=-

3

2

；
（2）①由余弦定理，知

|λ OA |2+|μ OB |2-| OP |2

2|λ OA ||μ OB |

=cos60°=

1

2

，
整理得：

λ2+μ2-1

2λμ

=

1

2

，即λ²+μ²=1+λμ，
則λ，μ滿足的條件為

λ≥0，μ≥0 λ2-λμ+μ2=1

；
②由λ≥0，μ≥0，知λ²+μ²=1+λμ≥1（當且僅當λ=0或μ=0時取“=”），
由λ²+μ²=1+λμ≤1+

λ2+μ2

2

，得到λ²+μ²≤2（當且僅當λ=μ時取“=”），
則λ²+μ²的取值范圍為[1，2]．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數量積運算，以及基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．