Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線(xiàn)L:（為參數(shù)），曲線(xiàn)（為參數(shù)）

（Ⅰ）設(shè)與相交于兩點(diǎn)，求；

（Ⅱ）若把曲線(xiàn)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，得到曲線(xiàn)，設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)距離的最小值．

Answer 1

【答案】（1） (2)

【解析】

（I）把直線(xiàn)與曲線(xiàn)化為直角坐標(biāo)方程，將直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C1聯(lián)立，即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出|AB|．

（II）根據(jù)伸縮變換得到曲線(xiàn)的參數(shù)方程，設(shè)曲線(xiàn)C2任意點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式P到直線(xiàn)的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡(jiǎn)后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到距離d的最小值即可．

（I）直線(xiàn)的普通方程為，的普通方程.

聯(lián)立方程組，解得與的交點(diǎn)為，則；

（Ⅱ）曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），故點(diǎn)的坐標(biāo)為，

從而點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是

由此當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.