Question

【題目】已知函數 ．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）若函數f（x）在區間[10，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若函數 的真數為正，

則（ax﹣1）（x﹣1）＞0，

當a=1時，函數f（x）的定義域為{x|x≠1}；

當0＜a＜1時，函數f（x）的定義域為 ；

當a＞1時

（2）解： ，

函數f（x）在區間[10，+∞）上是增函數，

只需要 在區間[10，+∞）上是增函數，且大于零．

即當x1＞x2≥10時， 恒成立．

∵x2﹣x1＜0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，

∴k﹣1＜0即可．

在區間[10，+∞）上是增函數，

要使g（x）＞0恒成立，

只要 ，

∴

【解析】（1）若函數 的真數為正，則（ax﹣1）（x﹣1）＞0，分類討論，可得不同情況下函數f（x）的定義域；（2）若函數f（x）在區間[10，+∞）上是增函數，只需要 在區間[10，+∞）上是增函數，且大于零恒成立，進而得到實數a的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的定義域及其求法和函數單調性的判斷方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．