Question

【題目】已知f（x）=ex﹣ax2 ， 曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=bx+1．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（3）證明：當x＞0時，ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex﹣2ax，

∴f′（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，

解得：a=1，b=e﹣2；

（2）解：由（1）得：f（x）=ex﹣x2，

f′（x）=ex﹣2x，f″（x）=ex﹣2，

∴f′（x）在（0，ln2）遞減，在（ln2，+∞）遞增，

∴f′（x）≥f′（ln2）=2﹣2ln2＞0，

∴f（x）在[0，1]遞增，

∴f（x）max=f（1）=e﹣1

（3）解：∵f（0）=1，由（2）得f（x）過（1，e﹣1），

且y=f（x）在x=1處的切線方程是y=（e﹣2）x+1，

故可猜測x＞0，x≠1時，f（x）的圖象恒在切線y=（e﹣2）x+1的上方，

下面證明x＞0時，f（x）≥（e﹣2）x+1，

設g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，

g′（x）=ex﹣2x﹣（e﹣2），g″（x）=ex﹣2，

由（2）得：g′（x）在（0，ln2）遞減，在（ln2，+∞）遞增，

∵g′（0）=3﹣e＞0，g′（1）=0，0＜ln2＜1，

∴g′（ln2）＜0，

∴存在x0∈（0，1），使得g′（x）=0，

∴x∈（0，x0）∪（1，+∞）時，g′（x）＞0，

x∈（x0，1）時，g′（x）＜0，

故g（x）在（0，x0）遞增，在（x0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，

又g（0）=g（1）=0，∴g（x）≥0當且僅當x=1時取“=”，

故 ≥x，x＞0，

由（2）得：ex≥x+1，故x≥ln（x+1），

∴x﹣1≥lnx，當且僅當x=1時取“=”，

∴ ≥x≥lnx+1，

即 ≥lnx+1，

∴ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，

即ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0成立，

當且僅當x=1時“=”成立．

【解析】（1）求出f（x）的導數，計算f′（1），f（1），求出a，b的值即可；（2）求出f（x）的導數，得到導函數的單調性，得到f（x）在[0，1]遞增，從而求出f（x）的最大值；（3）只需證明x＞0時，f（x）≥（e﹣2）x+1，設g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，根據函數的單調性得到ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，從而證出結論即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．