Question

正四面體（即四條棱均相等的三棱錐）的4個(gè)面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，將3個(gè)這樣大小相同、質(zhì)地均勻的正四面體同時(shí)投擲于桌面上．記ξ為與桌面接觸的3個(gè)面上的3個(gè)數(shù)字中最大值與最小值之差的絕對值，則隨機(jī)變量ξ的期望Eξ等于

15

8

．

Answer 1

分析：用列舉法得到所有基本事件，找出所有求的可能事件包括的基本事件及其概率，再利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出．

解答：解：ξ的可能取值為0，1，2，3．與桌面接觸的3個(gè)面上的3個(gè)數(shù)字共有4³=64個(gè)基本事件．
①當(dāng)與桌面接觸的3個(gè)面上的3個(gè)數(shù)字相同時(shí)，包括4個(gè)基本事件：（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），
（4，4，4），即ξ=0=|1-1|=…=|4-4|，∴P（ξ=0）=

4

64

；
②當(dāng)與桌面接觸的3個(gè)面上的3個(gè)數(shù)字相差2時(shí)，包括以下24個(gè)基本事件：
（1，1，3），（1，3，1），（3，1，1），（3，3，1），（3，1，3），（1，3，3），（2，2，4），（2，4，2），（4，2，2），（2，4，4），（4，2，4），（4，4，2），（1，2，3），…（3，2，1），（2，3，4），…（4，3，2），∴P（ξ=2）=

24

64

；
③當(dāng)與桌面接觸的3個(gè)面上的3個(gè)數(shù)字相差3時(shí)，包括以下18個(gè)基本事件：（1，1，4），（1，4，1），（4，1，1），
（4，4，1），（4，1，4），（1，4，4），（4，2，1），（2，4，1），（4，1，2），（2，1，4），（1，2，4），（1，4，2）（4，3，1），（3，4，1），（4，1，3），（3，1，4），（1，3，4），（1，4，3）．∴P（ξ=3）=

18

64

；
④當(dāng)與桌面接觸的3個(gè)面上的3個(gè)數(shù)字相差1時(shí)，P（ξ=1）=1-

4

64

-

24

64

-

18

64

=

18

64

．
ξ的分布列如下表：
∴Eξ=0×

4

64

+1×

18

64

+2×

24

64

+3×

18

64

=

15

8

．
故答案為

15

8

．

點(diǎn)評：熟練得到所有的基本事件和正確得到可能事件包括的基本事件及其概率、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．