Question

P為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上一點，F₁、F₂為左右焦點，∠F₁PF₂=90°
（1）若PF₁的中點為M，求證|MO|=5-

1

2

|PF1|；
（2）求△F₁PF₂的面積；
（3）求P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的方程，算出a=5、b=3且c=4，△PF₁F₂中利用中位線定理，結合橢圓的定義即可證出PF₁的中點M滿足關系式|MO|=5-

1

2

|PF1|；
（2）設|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，根據橢圓的定義和勾股定理建立關于t₁、t₂的方程組，平方相減即可求出|PF₁|•|PF₂|=18，結合直角三角形面積公式即可算出△F₁PF₂的面積；
（3）設P（x，y），根據△F₁PF₂的面積S_△ F1PF2=

1

2

•2c•|y|=9，解出y=±

9

4

，再代入橢圓方程求出橫坐標的值，即可得到P點的坐標．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

25

+

y2

9

=1，
∴a=5，b=3，可得c=

a2-b2

=4
（1）∵△PF₁F₂中，O、M分別是PF₁、F₁F₂的中點
∴|OM|=

1

2

|PF₂|，根據橢圓的定義得|PF₂|=10-|PF₁|
因此，|OM|=

1

2

|PF2|=5-

1

2

|PF1|；
（2）設|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，則t₁+t₂=10①
又∵Rt△PF₁F₂中，利用勾股定理得

t

2 1

+

t

2 2

=(2c)2=82②，
由①²-②，得t₁t₂=18
∴△F₁PF₂的面積S_△ F1PF2=

1

2

t1t2=9；
（3）設P（x，y），由S_△ F1PF2=

1

2

•2c•|y|=4•|y|，
得4|y|=9，解之得|y|=

9

4

⇒y=±

9

4

，
將y=±

9

4

代入橢圓方程解，得x=±

5 7

4

，
∴P點的坐標為P(

5 7

4

，±

9

4

)或P(-

5 7

4

，±

9

4

)．

點評：本題給出橢圓的焦點三角形為直角三角形，求它的面積和直角頂點P的坐標，著重考查了勾股定理、橢圓的定義和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．