Question

過點A（2，1）作曲線f（x）=x³-x的切線的條數最多是（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：設出切點，求出切點處的導數，寫出切線方程把A的坐標代入后得到關于切點橫坐標的方程，再利用其導函數判斷極值點，根據極值得到切點橫坐標的個數，從而答案可求．

解答：解：設設切點為P（x0，x03-x0），
則f′(x0)=3x02-1，
則切線方程y-x03+x0=(3x02-1)(x-x0)，
代入A（2，1）得，2x03-6x02+3=0．
令y=2x03-6x02+3，則y′=6x02-12x0．
由y′=0，得x₀=0或x₀=2，
且當x₀=0時，y=3＞0，x₀=2時，y=-5＜0．
所以方程2x03-6x02+3=0有3個解，
則過點A（2，1）作曲線f（x）=x³-x的切線的條數是3條．
故選A．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上點的切線方程，考查了利用函數的極值點的情況分析函數零點的個數，是中檔題．