Question

【題目】如圖，在六面體中，平面平面， 平面， ， .且， .

（1）求證： 平面；

（2）求銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，通過平行且等于證明是平行四邊形，即可證明平行且等于，再證明出是平行四邊形，然后根據線面平行判定定理即可求證；（2）由兩兩垂直，故可建立空間直角坐標系，求出二面角的兩個平面法向量，通過計算法向量夾角的余弦值，再根據二面角為銳角即可求出二面角的余弦值.

試題解析：（1）設的中點為，連接， .易證：四邊形是平行四邊形.

∴，且.

∵平面平面，∴，

∵，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，

∴.又平面， 平面，

故平面.

（2）由題意可得， 兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系.

.設平面的法向量為，

則，令，則.

又平面的法向量.

∴ .

由于所求的二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為.