Question

如圖，已知正方形ABCD與矩形BEFD所在的平面互相垂直，AB=

2

，DF=1，P是線段EF上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，求直線OP與平面ABCD所成角的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)時(shí)，求直線BP與FA所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-EF-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)P是線段EF的中點(diǎn)時(shí)，OP⊥平面ABCD，直線OP與平面ABCD所成的角最大，當(dāng)P是線段EF的端點(diǎn)時(shí)，OP與平面ABCD所成的角最小．
（Ⅱ）FO∥PB，∠AFO是直線BP與FA所成的角，解直角三角形AFO，求出此角的正弦值．
（Ⅲ）取EF的中點(diǎn)P，∠APC是二面角A-EF-C的平面角，通過計(jì)算三角形APC的邊長(zhǎng)求出∠APC的大小．

解答：解：（Ⅰ）連接OP．設(shè)OP與平面ABCD所成角為α，則α∈[

π

4

，

π

2

]．
當(dāng)P是線段EF的中點(diǎn)時(shí)，OP⊥平面ABCD，直線OP與平面ABCD所成的最大角是

π

2

．（4分）
（Ⅱ）連接AF、FC、OF．
易證FO∥PB，
∴∠AFO是直線BP與FA所成的角．（5分）
依題意，在等腰△AFC中，F(xiàn)O⊥AC，△AFO為直角三角形．
∵AD=

2

，DF=1，
∴AF=

3

．又AO=

1

2

( 2 )2+( 2 )2

=1，
∴在Rt△AOF中，sin∠AFO=

AO

AF

=

3

3

．（8分）
（Ⅲ）連接AE、EC，則AF=FC=AE=EC=

3

．取EF的中點(diǎn)P，連接AP、CP，AP⊥EF，CP⊥EF，
則∠APC是二面角A-EF-C的平面角．（11分）
則等腰△AEF≌△CEF，
∴在△APC中，AP=CP=

2

．
又AC=2，
∴△APC是直角三角形．
且∠APC=

π

2

．
∴二面角A-EF-C的大小是

π

2

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線角、線面角、二面角的求法．