Question

如圖，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=

2

，CE=2

2

，CE∥AF，AC⊥CE，

ME

=2

FM

（I）求證：CM∥平面BDF；
（II）求異面直線CM與FD所成角的余弦值的大小；
（III）求二面角A-DF-B的大小．

Answer 1

分析：（I） 可知CD、CB、CE兩兩垂直．建立如圖空間直角坐標(biāo)系C-xyz．利用

CM

與

OF

平行證出CM∥OF，則可以證出CM∥平面BDF
（II） 利用

CM

， 

FD

的夾角求異面直線CM與FD所成角
（III）先求出平面ADF與平面BDF的一個法向量，利用兩法向量的夾角求出二面角A-DF-B的大小．

解答：解：（I）證明：因為面ABCD⊥面ACEF，面ABCD∩面ACEF=AC，且AC⊥CE，∴CE⊥面ABCD．
所以CD、CB、CE兩兩垂直．可建立如圖空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
則（2，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），F(xiàn)（2，2，

2

)，E(0，0，2

2

），O（1，1，0）…（2分）
由

ME

=2

FM

，可求得M（

4

3

，

4

3

，

4

3

2

）…（3分）

CM

=（

4

3

，

4

3

，

4

3

2

），

OF

=(1，1，

2

）．

CM

=

4

3

OF

所以

CM

∥

OF

，
∴CM∥OF…（5分）
（II）因為

CM

=（

4

3

，

4

3

，

4

3

2

），

FD

=(0，-2，-

2

），
所以cos＜

CM

， 

FD

＞=

CM • FD

| CM || FD |

=

6

3

異面直線CM與FD所成角的余弦值的大小為

6

3

 …（8分）
（III）因為CD⊥平面ADF，所以平面ADF的法向量

CD

=（2，0，0）．
設(shè)平面BDF的法向量為

n

=（x，y，1）…（9分）
由

n • BD =0 n • BF =0

⇒

x-y=0 2x+ 2 =0

⇒x=y=-

2

2

．
所以法向量

n

=（-

2

2

，

2

2

，1）…（10分）
所以＜

CD，

n

＞=

CD • n

| CD || n |

=

- 2

2× 2

=-

1

2

所以＜

CD

，

n

＞=

2π

3

，…（11分）
由圖可知二面角A-DF-B為銳角，
所以二面角A-DF-B大小為

π

3

．…（12分）

點評：本題考查直線和平面平行的判定，異面直線夾角，二面角的計算，利用了空間向量的方法．要注意相關(guān)點和向量坐標(biāo)的準確性，及轉(zhuǎn)化時角的相等或互余關(guān)系．