Question

（2012•福州模擬）對一個邊長為1的正方形進行如下操作：第一步，將它分割成3×3方格，接著用中心和四個角的5個小正方形，構成如圖①所示的幾何圖形，其面積S₁=

5

9

；第二步，將圖①的5個小正方形中的每個小正方形都進行與第一步相同的操作，得到圖②；依此類推，到第n步，所得圖形的面積Sn=

5

9

n．若將以上操作類比推廣到棱長為1的正方體中，則到第n步，所得幾何體的體積V_n=

(

1

3

)n

．

Answer 1

分析：類比正方形求面積，可得正方體求體積，得出所有體積構成以

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列，從而可得結論．

解答：解：推廣到棱長為1的正方體中，第一步，將它分割成3×3×3個正方體，其中心和八個角的9個小正方體，其體積為

9

27

=

1

3

，第二步，執行同樣的操作，其體積為(

1

3

)2，依此類推，到第n步，所有體積構成以

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列，
∴到第n步，所得幾何體的體積V_n=(

1

3

)n
故答案為(

1

3

)n．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列通項的求解，解題的關鍵是得出所有體積構成以

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列．