Question

已知函數。
（1）若的單調增區間是（0，1）求m的值。
（2）當時，函數的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍。

Answer 1

（1）；（2）由。

試題分析：（1）先求出導函數f'（x），根據函數f（x）在區間(0， )上單調遞增，在區間( ，1)上單調遞減，可知x=是函數的極值，從而f'（）=0，解之即可求出m的值；
（2）本小問可轉化成f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6＞3m在區間[-1，1]恒成立，即3mx²-6（m+1）x+6＞0在區間[-1，1]恒成立，將x=-1和x=1代入使之成立，即可求出m的范圍
（1）

的解集為（0，1），
則0，1是關于x的方程的兩根

（2）由已知，當

又m<0，要使上恒成立
只需滿足
點評：解決該試題的關鍵是利用導數得到函數的單調去甲，以及函數的極值，進而得到從那數m的值，同時對于恒成立問題的轉化思想的運用，求解最值得到參數的范圍。