Question

18、設a為實數，函數f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（Ⅰ）若f（x）是偶函數，試求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求f（x）的最小值；
（Ⅲ）王小平同學認為：無論a取何實數，函數f（x）都不可能是奇函數．
你同意他的觀點嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據偶函數的定義即f（-x）=f（x），列出方程進行化簡整理，求出a的值；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）求出函數解析式，觀察得x²≥0，|x|≥0，則f（x）≥1，即求出函數的最小值；（Ⅲ）先判斷觀點是正確的，再通過奇函數的定義即f（-x）=-f（x），進行證明．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）²+|-x-a|+1=x²+|x-a|+1，
化簡整理，得ax=0在R上恒成立，∴a=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=0，∴f（x）=x²+|x|+1，
∵x²≥0，|x|≥0，∴f（x）≥1，當且僅當x=0時，f（x）=1，
∴當x=0時，f（x）的最小值為1．
（Ⅲ）王小平同學的觀點是正確的．
若f（x）是奇函數，則f（-x）=-f（x）在R上恒成立，
∴f（0）=-f（0），∴f（0）=0，
但無論a取何實數，f（0）=|a|+1＞0，
∴f（x）不可能是奇函數．

點評：本題考查了函數奇偶性的應用，利用奇（偶）函數的定義進行求值、判斷以及證明，求函數的最值可根據解析式的特點直接進行求解．