Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若P（1，1）為線段AB的中點(diǎn)，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y²=2x

．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，與直線方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理求得x_A+x_B的表達(dá)式，根據(jù)AB中點(diǎn)的坐標(biāo)可求得x_A+x_B的，繼而p的值可得．

解答：解：設(shè)拋物線方程為y²=2px（p≠0）
直線y=x與拋物線方程聯(lián)立得x²-2px=0
∴x_A+x_B=2p
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，x_A+x_B=2×1=2
∴p=1
∴拋物線C的方程為y²=2x
故答案為：y²=2x

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的關(guān)系．考查了考生基礎(chǔ)知識(shí)的理解和熟練應(yīng)用．