Question

已知拋物線C的頂點為（1，0），焦點在x軸上，若直線y=x+2交拋物線C于A、B兩點，線段AB的中點坐標為（5，7），求拋物線C的方程．

Answer 1

分析：由題意設出拋物線的方程，和直線方程聯立后化為關于y的一元二次方程，由根與系數關系求出A，B兩點的橫坐標的和，然后由中點坐標公式列式求解p的值，則拋物線方程可求．

解答：解：因為拋物線交直線y=x+2所得線段的中點為（5，7），
所以拋物線為開口向右的拋物線，
又拋物線C的頂點為（1，0），焦點在x軸上，
所以設拋物線C的方程為y²=2p（x-1），焦點為（

p

2

+1，0）
直線y=x+2與拋物線C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點．
由

y=x+2 y2=2p(x-1)

，得y²-2py+6p=0．
所以y₁+y₂=2p．
因為線段AB的中點坐標為（5，7），
所以y₁+y₂=2p=14，所以p=7．
所以拋物線C的方程為y²=14（x-1）．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了一元二次方程的根與系數關系，訓練了中點坐標公式，是中檔題．