Question

已知向量

a

=（cos²ωx-sin²ωx，sinωx），

b

=（

3

，2cosωx），函數f（x）=

a

•

b

（x∈R）的圖象關于直線x=

π

2

對稱，其中ω為常數，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）若將y=f（x）圖象上各點的橫坐標變為原來的

1

6

，再將所得圖象向右平移

π

3

個單位，縱坐標不變，得到y=h（x）的圖象，求y=h（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過向量的數量積以及二倍角公式和兩角和的正弦函數，化簡函數為 一個角的一個三角函數的形式，通過函數的對稱軸方程求出ω，然后得到函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）通過函數圖象的變換，求出y=h（x），利用x∈[-

π

4

，

π

4

]，通過正弦函數的值域，求解函數的取值范圍．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）因為函數f（x）=

a

•

b

=（cos²ωx-sin²ωx，sinωx）•（

3

，2cosωx）
=

3

（cos²ωx-sin²ωx）+2sinωxcosωx
=

3

cos2ωx+sin2ωx
=2sin（2ωx+

π

3

），
函數f（x）的圖象關于直線x=

π

2

對稱，
所以2sin（2ωx+

π

3

）=±2，ωπ+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，ω=k+

1

6

，k∈Z，
其中ω為常數，且ω∈（0，1）．所以ω=

1

6

．
函數f（x）=2sin（

1

3

x+

π

3

）；
（Ⅱ）若將y=f（x）圖象上各點的橫坐標變為原來的

1

6

，
再將所得圖象向右平移

π

3

個單位，縱坐標不變，
得到y=2sin（2x-

π

3

）的圖象，所以h（x）=2sin（2x-

π

3

），
x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，∴2sin（2x-

π

3

）∈[-2，1]
h（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的取值范圍[-2，1]．

點評：本題考查向量的數量積，兩角和與差的三角函數，正弦函數的圖象與性質，函數圖象的平移變換，考查向量與三角函數的綜合應用．