Question

已知曲線C:x²－y²＝１及直線l:y=kx-1.

(1)若l與C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；

(2)若l與C交于A、B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面積為2，求實數k的值.

Answer 1

1、k的取值范圍為

(－，－１)∪(－１，１)∪(１，).

2、ｋ＝０或k=±．

解析:

(1)由消去y，得

(1－ｋ²)ｘ²＋２ｋｘ－２＝０.

由

得k的取值范圍為

(－，－１)∪(－１，１)∪(１，).

(2)設Ａ(ｘ₁，ｙ₁)、Ｂ(ｘ₂，ｙ₂)，

由(1)得ｘ₁＋ｘ₂＝－，ｘ₁ｘ₂＝－.又l過點D(0，-1),

∴Ｓ_△ＯＡＢ＝Ｓ_△ＯＡＤ＋Ｓ_△ＯＢＤ

＝|ｘ₁|＋|ｘ₂|

＝|ｘ₁－ｘ₂|＝.

∴(ｘ₁－ｘ₂)²＝(２)²,即()²＋＝８.∴ｋ＝０或k=±．