Question

已知曲線C:x²+y²+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.

(1)求證：曲線C都表示圓，并且這些圓心都在同一條直線上；

(2)證明：曲線C過定點；

(3)若曲線C與x軸相切，求k的值.

Answer 1

解析：(1)原方程可化為

(x+k)²+(y+2k+5)²=5(k+1)².

∵k≠-1,∴5(k+1)²＞0.

故方程表示圓心在(-k,-2k-5)、半徑為5|k+1|的圓.

設圓心為(x,y)有消去k，得2x-y-5=0.

∴這些圓的圓心都在直線2x-y-5=0上.

(2)將原方程變形成k(2x+4y+10)+(x²+y²+10y+20)=0.

上式關于參數k是恒等式.

∴解得

∵曲線C過定點(1，-3)

(3)∴圓C與x軸相切，∴圓心到x軸的距離等于半徑，

即  |-2k-5|=|k+1|.

兩邊平方，得(2k+5)²=5(k+1)².

∴k=5±.