Question

【題目】已知函數（且a為常數）和（且k為常數），有以下命題:①當時，函數沒有零點；②當時，若恰有3個不同的零點，則；③對任意的，總存在實數，使得有4個不同的零點，且成等比數列.其中的真命題是_____（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

【答案】②

【解析】

①根據題意，將函數的零點個數問題，轉換為對應函數圖像的交點個數問題，分別判斷，兩種情況下，函數零點的個數情況，即可判斷出結果；

②根據題意，先令，畫出函數的圖像，結合函數零點個數以及函數圖像，判斷方程根的分布情況，以及方程根的個數情況，即可判斷出結果；

③根據題意，只需判斷出時，函數零點個數不一定是個，即可得出結果.

①因為，，由得，函數的零點，即是函數圖像與直線交點的橫坐標，

當時，恒成立，因為，所以時，函數顯然沒有零點；

當時，由得，即，即，

因為，所以恒成立，若時，函數可能有零點；若，函數沒有零點；故①錯；

②當時，因為恰有個不同零點，令，則關于的方程有兩個不同的實數解，記作，不妨令；

做出函數的圖像如下：

由圖像可得：當時，與有個交點；

當時，與有個交點；

因為函數恰有個不同零點，

則有個根，記作；有個根，記作（不妨令）；

所以只需，，因此，，

所以；，，因此；故②正確；

③由，得；

所以函數與圖像交點個數，即為函數的零點個數；

由②中圖像可知：當時，與在上有個交點，即函數在上有個零點；

當時，若，則函數在上單調遞增，因此函數與在上最多只有個交點，即函數在上最多只有個零點；不滿足存在實數，使得有4個不同的零點；

若，由基本不等式可得：，即時，；

若，則函數與在上最多只有個交點，也不滿足對任意的，總存在實數，使得有4個不同的零點.故③錯.

故答案為：②.