Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2lnx．
（1）求證：f（x）在（1，+∞）上單調遞增．
（2）若f（x）≥2tx﹣ 在x∈（0，1]內恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：函數的定義域為（0，+∞），f′（x）=2x﹣ = ，

由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，

所以，函數f（x）在區間（1，+∞）上單調遞增

（2）解：由f（x）≥2tx﹣ 對x∈（0，1]恒成立，得2t≤x+ ﹣ ．

令h（x）=x+ ﹣ ，則h′（x）= ，

因為x∈（0，1]，所以x4﹣3＜0，﹣2x2＜0，

2x2lnx＜0，x4＞0，

所以h′（x）＜0，

所以h（x）在（0，1）上為減函數．

所以當x=1時，h（x）=h（x）=x+ ﹣ ，有最小值2，得2t≤2，

所以t≤1，故t的取值范圍是（﹣∞，1]

【解析】（1）先求函數的導數，根據導數和函數的單調性的關系即可求出，（2）要求若f（x）≥2tx﹣ 在x∈（0，1]內恒成立，即轉化為2t≤x+ ﹣ 在x∈（0，1]內恒成立，只需求h（x）=x+ ﹣ x∈（0，1]內的最小值即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．