Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：，．

⑴求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；      ⑵證明：

⑶設(shè)，且，證明：．

Answer 1

（1）（2）（3）見解析

解析:

：⑴由，得令，有

∴ ＝＝

又b₁＝2a₁＝2，    

∴∴           

⑵證法1：(數(shù)學(xué)歸納法)

1°，當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝1，滿足不等式     

2°，假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立

即，那么

即      又

由1°，2°可知，n∈N*，都有成立   

⑵證法2：由⑴知：　　　　　　　　　　　　　　　　(可參照給分)

∵，，∴

∵  ∵

∴  ∴當(dāng)n＝1時(shí)，，綜上

⑵證法3：  

∴{a_n}為遞減數(shù)列   當(dāng)n＝1時(shí)，a_n取最大值　　∴a_n≤1

由⑴中知　　  

綜上可知

⑶欲證：即證   

即ln(1＋T_n)－T_n＜0，構(gòu)造函數(shù)f (x)＝ln(1＋x)－x

∵當(dāng)x＞0時(shí)，f ' (x)＜0

∴函數(shù)y＝f (x)在(0，＋∞)內(nèi)遞減∴f (x)在[0，＋∞)內(nèi)的最大值為f (0)＝0

∴當(dāng)x≥0時(shí)，ln(1＋x)－x≤0又∵T_n＞0，∴l(xiāng)n(1＋T_n)－T_n＜0∴不等式成立