Question

已知兩點M（-1，0），N（1，0），且點P使

MP

•

MN

，

PM

•

PN

，

NM

•

NP

成公差小于零的等差數列．
（1）點P的軌跡是什么曲線？
（2）若點P坐標為（x₀，y₀），記θ為

PM

與

PN

的夾角，求tanθ．

Answer 1

分析：（1）設出要求軌跡的點的坐標，根據所給的兩個點的坐標寫出要用的向量，做出向量的數量積，根據

MP

•

MN

，

PM

•

PN

，

NM

•

NP

成公差小于零的等差數列，列出不等式和等式，整理整式得到結果．
（2）求兩個向量的夾角，根據球向量夾角的公式，先用求出數量積和模的乘積，求出角的余弦值，根據同角的三角函數的關系，用已知條件表示出tanθ．

解答：解：（1）記P（x，y），由M（-1，0），N（1，0）得

PM

=-

MP

=（-1-x，-y），

PN

=-

NP

=（1-x，-y），

MN

=-

NM

=（2，0），
∴

MP

•

MN

=2(1+x)，

PM

•

PN

=x2+y2-1，

NM

•

NP

=2(1-x)，
∵

MP

•

MN

，

PM

•

PN

，

NM

•

NP

是公差小于零的等差數列
∴

x2+y2-1= 1 2 [2(1+x)+2(1-x)] 2(1-x)-2(1+x)＜0

即x²+y²=3（x＞0），
∴點P的軌跡是以原點為圓心，

3

為半徑的右半圓．
（2）點P的坐標為（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=3，

PM

•

PN

=x₀²+y₀²-1=2，
∵|

PM

|•|

PN

|=

(1+x0)2+ y 2 0

•

(1-x0)2+ y 2 0

=

(4+2x0)(4-2x0)

=2

4-2 x 2 0

，
∴cosθ=

PM • PN

| PM |•| PN |

=

1

4- x 2 0

，
∵0＜x0≤

3

，
∴

1

2

＜cosθ≤1，0≤θ＜

π

3

，
sinθ=

1-cos2θ

=

1- 1 4- x 2 0

，
tanθ=

sinθ

cosθ

=

1- 1 4-x02

1 4-x02

=

3-x02

=|y₀|

點評：這是一個綜合題，求軌跡的問題，向量的數量積，等差數列的定義，求向量的夾角，同角的三角函數關系，這是一個難題，可以作為高考卷的壓軸題．