Question

【題目】如圖，已知橢圓： ， 其左右焦點為及，過點的直線交橢圓于兩點，線段的中點為， 的中垂線與軸和軸分別交于兩點，且、、構成等差數列.

（1）求橢圓的方程；

（2）記的面積為， （為原點）的面積為，試問：是否存在直線，使得？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

（1）由題意得，又，所以，于是可得橢圓的方程．（2）假設存在直線滿足條件．將轉化為，可根據題意設出直線的方程，將直線方程代入橢圓方程消元后可得二次方程，結合根與系數的關系和兩點間的距離可得關于（直線斜率）的方程，解方程可得的值，由此判斷結論是否成立即可．

試題解析：

（1）因為、、構成等差數列，

所以，所以，

又因為，

所以，

所以橢圓的方程為．

（2）假設存在直線，使得，顯然直線不能與, 軸垂直．

設方程為 ，

由消去y整理得，

顯然．

設， ，則，

故點的橫坐標為，

所以．

設,因為，所以，

解得，即．

∵和相似，且，

則，

∴，

整理得，

解得，所以，

所以存在直線滿足條件，且直線的方程為.