Question

如圖，P-ABCD是正四棱錐，PA=

3

，AB=2．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求該四棱錐的體積．

Answer 1

分析：（1）證明AC⊥平面PBD，即可證明平面PAC⊥平面PBD；
（2）證明PO⊥平面ABCD，即可求該四棱錐的體積．

解答：（1）證明：設AC∩BD=O，連接PO…（1分），
因為P-ABCD是正四棱錐，所以AC⊥BD，PO⊥AC…（3分），
因為PO∩BD=O，所以AC⊥平面PBD…（5分），
因為AC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD…（7分）
（2）解：因為AB=2，所以AO=

2

…（8分），
所以PO=

PA2-AO2

=1…（9分），
因為P-ABCD是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD…（10分）
所以，該四棱錐的體積V=

1

3

Sh=

1

3

×AB2×PO=

4

3

…（13分）（每個等號1分）．

點評：本題考查線面垂直、面面垂直，考查四棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．