Question

如圖，P-ABCD是正四棱錐，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，其中AB=2，PA=

6

．
（1）求證：PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD與平面BDD₁B₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：如圖，以D₁為原點(diǎn)，D₁A₁所在直線為x軸，D₁C₁所在直線為y軸，D₁D所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，給出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)，
（1）先計(jì)算出

AP

，

D1B1

的坐標(biāo)，驗(yàn)證其內(nèi)積為0即可得出PA⊥B₁D₁；
（2）平面BDD₁B₁的法向量為

AC

=（-2，2，0）．故再求出平面PAD的法向量

n

，設(shè)所求銳二面角為θ，由公式cosθ=

|n• AC |

|n|•| AC |

解答：解：以D₁為原點(diǎn)，D₁A₁所在直線為x軸，D₁C₁所在直線為y軸，D₁D所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則D₁（0，0，0），A₁（2，0，0），B₁（2，2，0），C₁（0，2，0），
D（0，0，2），A（2，0，2），B（2，2，2），C（0，2，2），
P（1，1，4）．
（1）證明：∵

AP

=（-1，1，2），

D1B1

=（2，2，0），
∴

AP

•

D1B1

=-2+2+0=0，
∴PA⊥B₁D₁．
（2）平面BDD₁B₁的法向量為

AC

=（-2，2，0）．

DA

=（2，0，0），

OP

=（1，1，2）．
設(shè)平面PAD的法向量為

n

=（x，y，z），則

n

⊥

DA

，

n

⊥

DP

．
∴

2x=0 x+y+2z=0

∴

x=0 y=-2z

．取

n

=（0，-2，1），
設(shè)所求銳二面角為θ，則
cosθ=

|n• AC |

|n|•| AC |

=

|0-4+0|

2 2 × 5

=

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用空間向量求直線與平面的夾角以及用空間向量證明面面垂直，正確解題的前提是理解向量?jī)?nèi)積與兩直線位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系及兩平面法向量的夾角的余弦的絕對(duì)值即兩平面夾角的余弦值，了解知識(shí)之間的銜接點(diǎn)，是正確轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵．