Question

【題目】已知數列和都是等差數列，.數列滿足.

（1）求的通項公式；

（2）證明：是等比數列；

（3）是否存在首項為1，公比為q的等比數列，使得對任意，都有成立？若存在，求出q的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在，.

【解析】

（1）設的公差為d，可得，， 由是等差數列，可得成等差數列，可得，求出的值，可得的通項公式；

（2）將展開，可得，將代入此式子相減，可得，再將代入此式子相減，可得，此時，驗證時也滿足可得是等比數列；

（3）設存在對任意，都有恒成立，即，，易得，由由得，，可得設，對其求導，可得其最小值，可得q的取值范圍.

解：（1）因為數列是等差數列，設的公差為d，則

，，

因為是等差數列，所以成等差數列，

即，，

解得，當時，，此時是等差數列.

故.

（2）由，即， ①

所以， ②

②-①得，， ③

所以，， ④

④-③得，，即時，，

在①中分別令得，，也適合上式，

所以，，

因為是常數，所以是等比數列.

（3）設存在對任意，都有恒成立，

即，，

顯然，由可知，，

由得，，.

設，因為，

所以當時，，遞增；

當時，，遞減.

因為，所以，

解得，

綜上可得，存在等比數列，使得對任意，都有恒成立， 其中公比的取值范圍是.