Question

設數列的前項和為，，數列的通項公式為．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，數列的前項和為，
①求；
②若，求數列的最小項的值．

Answer 1

（1）a_n＝＝2n．
（2） 當x≠1時， T_n＝．當x＝1時，T_n＝n²＋n．
（3）．

（1）由與的關系得，又，
；（2）由（1）得，討論分別用公式法和錯誤相減法求和；
時，＝ ，構造函數研究單調性得最小值
（1）a_n＝＝2n．…………………4分
（若沒有交待a₁扣1分）
（2）c_n＝．
T_n＝2＋4x＋6x²＋8x³＋……＋ ．     ①
則xT_n＝2x＋4x²＋6x³＋8x³＋……＋ ．  ②
①－②，得(1－x)T_n＝2＋2x＋2x²＋……＋－．
當x≠1時，(1－x)T_n＝2×－．所以T_n＝．…8分
當x＝1時，T_n＝2＋4＋6＋8＋……＋2n＝n²＋n．…………………10分
（3）當x＝2時，T_n＝2＋．
則＝． ……………………11分
設f(n)＝．
因為f(n＋1)－f(n)＝－＝＞0， …………14分
所以函數f(n)在n∈N_＋上是單調增函數．  …………………15分
所以n＝1時，f(n)取最小值，即數列{}的最小項的值為