Question

（本小題滿分14分）
(1)已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若m+n=s+t(m,n,s,t∈N^*，且m≠n,s≠t)，證明；= ；
(2)注意到(1)中S_n與n的函數關系，我們得到命題：設拋物線x²=2py(p>0)的圖像上有不同的四點A，B，C，D，若x_A，x_B，x_C，x_D分別是這四點的橫坐標，且x_A+x_B=x_C+x_D，則AB∥CD，判定這個命題的真假，并證明你的結論
(3)我們知道橢圓和拋物線都是圓錐曲線，根據(2)中的結論，對橢圓+ =1(a>b>0)提出一個有深度的結論，并證明之.

Answer 1

見解析

（1）利用等差數列的前N項公式易證等式成立；（2）根據平行得出斜率相等，再利用兩點的斜率公式推導式子成立；（3）在橢圓中利用設而不求點差法的思想得出兩點斜率的關系式，從而利用斜率相等得出兩直線平行
（1）設等差數列的公差為
，
同理：，，
；…………3分
（2）設的斜率分別為，則，，
，，即；……………………………………6分
（3）A類卷：能提出有深度的問題，并能嚴格證明，滿分8分，如：
設橢圓圖像上有不同的四點，若線段的中點連線經過原點，則.
證明：設：，線段的中點不在坐標軸上，且它們的連線經過原點，則，
又，，，
則：，
，
所以：，即；
又當中點在坐標軸上時，同時垂直這條坐標軸，成立.
B類卷：能模仿（2）提出問題，并能嚴格證明，滿分6分，如：
橢圓圖像上有不同的四點，設它們的坐標分別是
，若，則.
證明：設：，又，，
，
當
則：，
，
所以：，即.
當時，同時垂直軸，成立.
C類卷：簡單模仿（2）提出問題，且不能證明，滿分2分
橢圓圖像上有四點，設它們的坐標分別是
，若，則.