Question

設b＞0,橢圓方程為=1,拋物線方程為x²=8(y-b).如圖6所示,過點F(0,b+2)作x軸的平行線,與拋物線在第一象限的交點為G.已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點F₁.

圖6

(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程.

(2)設A、B分別是橢圓長軸的左、右端點,試探究在拋物線上是否存在點P,使得△ABP為直角三角形?若存在,請指出共有幾個這樣的點?并說明理由(不必具體求出這些點的坐標).

Answer 1

本題主要考查橢圓、拋物線的概念,橢圓、拋物線的方程等基礎知識,數形結合的數學思想與方法,以及運算求解能力.

解：(1)由x²=8(y-b)得y=+b.

當y=b+2時,x=±4,

則G點的坐標為(4,b+2).

于是拋物線x²=8(y-b)在點G的切線的l的斜率k==1,

切線l的方程為y=x+b-2.

由橢圓方程得F₁點的坐標為(b,0)，

又切線l經過橢圓的右焦點F₁

∴由0=b+b-2,解得b=1.

因此滿足條件的橢圓方程和拋物線方程分別為+y²=1和x²=8(y-1).

(2)拋物線上存在點P，使得△ABP為直角三角形，這樣的點共有4個.

①分別過A，B作x軸的垂線，與拋物線分別交于兩點P₁（-，）和P₂（，），則△ABP₁和△ABP₂都是直角三角形.

②以原點為中心，|AB|=為半徑作圓周，由于圓周半徑大于橢圓的半短軸長1，且橢圓與拋物線僅交于一點，所以上述圓周必與拋物線相交于兩點P₃和P₄.

則△ABP₃和△ABP₄都是直角三角形.

因為P₁A與圓相切于點A，而P₃在圓周上，

所以P₃與P₁不重合，同理P₄與P₂不重合.

故P₁、P₂、P₃和P₄是兩兩互不相同的點.