Question

【題目】已知函數，曲線與在原點處的切線相同。

(1)求的值；

(2)求的單調區間和極值；

(3)若時，，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析；（3）.

【解析】

（1）分別對函數和求導，由題意得，即可求出結果；

(2)由求增區間，由求減區間，進而可得出結果;

(3)構造函數，由導數的方法分類討論研究其單調性和最值即可得出結果.

（1）因為，

依題意，，得，

（2）所以

當時， ；當時

故的單調遞減區間為，單調遞增區間為，

的極小值為 ；無極大值；

（3）由（1）知，當時，,,此時無論K取何值均滿足，

當時，令

所以，

又令,所以

因為時，令得，

①當時，，所以在遞增，

從而 即滿足時，。

②當時，，所以在遞增，

又因為，x趨近時趨近，

根據零點存在性定理所以存在使得，

所以在上遞減，在上遞增，因為,所以，

此時不滿足時，

綜上所述，的取值范圍是。