【題目】如圖，在梯形
中，
，平面
平面，四邊形
是菱形，
.
（1）求證：
；
（2）求二面角
的平面角的正切值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）利用勾股定理證得
，由此根據面面垂直的性質定理證得
平面
，從而證得
,根據菱形的性質證得
，由此證得
平面
，進而證得
.（2）取
的中點
，連接
，證得
兩兩垂直，由此建立空間直角坐標系，通過平面
和平面
的法向量，計算出二面角的余弦值，進而求得其正切值.
(1)依題意，在等腰梯形
中，
，
，
∵
，∴
即，
∵平面
平面,
平面,
而
平面，∴．
連接
，∵四邊形是菱形，∴，
∴平面, 
平面，∴．
(2)取的中點，連接，因為四邊形是菱形，且
．
所以由平面幾何易知
，
∵平面
平面，∴
平面．
故此可以
、
、
分別為
、
、
軸建立空間直角坐標系
各點的坐標依次為：
，
，
，
，
，
．設平面和平面的法向量分別為
，
，
∵
，
．
∴由
，令
，則
，
同理，求得
．
∴
，故二面角
的平面角的正切值為．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區域中的數.設兩次記錄的數分別為x，y.獎勵規則如下：
①若
，則獎勵玩具一個；
②若
，則獎勵水杯一個；
③其余情況獎勵飲料一瓶.
假設轉盤質地均勻，四個區域劃分均勻.小亮準備參加此項活動.
（Ⅰ）求小亮獲得玩具的概率；
（Ⅱ）請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某食品集團生產的火腿按行業生產標準分成8個等級，等級系數
依次為1，2，3，…，8，其中
為標準
， 
為標準
．已知甲車間執行標準
，乙車間執行標準
生產該產品，且兩個車間的產品都符合相應的執行標準．
（1）已知甲車間的等級系數
的概率分布列如下表，若
的數學期望E(X1)=6.4，求
， 
的值；
X1 | 5 | 6 | 7 | 8 |
P | 0.2 |
|
|
|
（2）為了分析乙車間的等級系數
，從該車間生產的火腿中隨機抽取30根，相應的等級系數組成一個樣本如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用該樣本的頻率分布估計總體，將頻率視為概率，求等級系數
的概率分布列和均值；
（3）從乙車間中隨機抽取5根火腿，利用（2）的結果推斷恰好有三根火腿能達到標準
的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，圓
的參數方程為
（
為參數），圓
與圓外切于原點
，且兩圓圓心的距離
，以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求圓和圓的極坐標方程；
（2）過點的直線
、
與圓異于點的交點分別為點
和點
，與圓異于點的交點分別為點
和點
，且
.求四邊形
面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【2018湖南（長郡中學、株洲市第二中學）、江西（九江一中）等十四校高三第一次聯考】已知函數
（其中
且
為常數， 
為自然對數的底數， 
）．
（Ⅰ）若函數
的極值點只有一個，求實數
的取值范圍；
（Ⅱ）當
時，若
（其中
）恒成立，求
的最小值
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題中，錯誤的是（ ）
A. 一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個平面相交
B. 平行于同一平面的兩條直線不一定平行
C. 如果平面
垂直，則過
內一點有無數條直線與
垂直．
D. 如果平面不垂直于平面，那么平面內一定不存在直線垂直于平面
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大學學生會為了調查了解該校大學生參與校健身房運動的情況，隨機選取了100位大學生進行調查，調查結果統計如下：
參與 | 不參與 | 總計 | |
男大學生 | 30 | ||
女大學生 | 50 | ||
總計 | 45 | 100 |
（1）根據已知數據，把表格數據填寫完整；
（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為參與校健身房運動與性別有關？請說明理由.
附：
，其中
.
| 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】科技創新在經濟發展中的作用日益凸顯．某科技公司為實現9000萬元的投資收益目標，準備制定一個激勵研發人員的獎勵方案：當投資收益達到3000萬元時，按投資收益進行獎勵，要求獎金
（單位：萬元）隨投資收益
（單位：萬元）的增加而增加，獎金總數不低于100萬元，且獎金總數不超過投資收益的20%．
（1）現有三個獎勵函數模型：①
，②
，③
，
．試分析這三個函數模型是否符合公司要求？
（2）根據（1）中符合公司要求的函數模型，要使獎金額達到350萬元，公司的投資收益至少要達到多少萬元？
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