Question

【題目】某處有一塊閑置用地，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧和兩條線段，構成.已知圓心O在線段上，現測得圓O半徑為2百米，，.現規劃在這片閑置用地內劃出一片梯形區域用于商業建設，該梯形區域的下底為，上底為，點M在圓弧（點D在圓弧上，且）上，點N在圓弧上或線段上.設.

（1）將梯形的面積表示為的函數；

（2）當為何值時，梯形的面積最大？求出最大面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，梯形的面積取得最大值平方百米.

【解析】

(1)結合點N的位置分析角相應的取值范圍，分情況討論即可求解；

(2)根據(1)的函數，利用導數研究單調性即可求解函數的最大值.

（1）因為點M在圓弧上，，當點M分別與點A，D重合時，梯形不存在，

所以.

過點B作，且交圓弧于點，連結，因為，所以.

由垂徑定理可知垂直平分，

因此，，

因此，當時，點N在圓弧上，當上時，點N在線段上.

設，

①當時，因為，所以.

又，所以.

由垂徑定理可知，在中，，

，

因為，所以在中，，，

所以梯形的面積

；

②當時，因為，，，

所以四邊形為矩形，故，

所以梯形的面積

.

綜上，

（2）①當時，，

.

因為時，，

所以，

故在上單調遞減，.

②當時，，

.

因為時，，

所以，

故在上單調遞增，.

綜上，當且僅當時，梯形的面積取得最大值平方百米.