Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a₂=3且2a_n+1=a_n+2+a_n（n∈N⁺）數列{b_n}的前n項和為S_n，其中
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由2a_n+1=a_n+2+a_n可得數列{a_n為等差數列，由a₁=1，a₂=3可得d=2代入可求數列{a_n的通項公式；利用遞推公式，可得，數列{b_n從第二項開始的等比數列，代入求數列{b_n}的通項公式；
（2）由于數列{a_n}為等差數列，{b_n}為等比數列，利用乘公比錯位相減法求和．
解答：解：（1）∵2a_n+1=a_n+2+a_n∴數列{a_n}是等差數列，（1分）
∴公差d=a₂-a₁=2∴a_n=2n-1 （3分）
∵b_n+1=-S_n∴b_n=-S_n-1（n≥2）
b_n+1-b_n=-b_n，∴
又∵b₂=-S₁=1

∴數列{b_n}從第二項開始是等比數列，
∴（6分）
（2）∵（7分）∴
∴3T_n=-2+3×3¹+5×3²+7×3³++（2n-1）×3^n-1（10分）
錯位相減并整理得．（12分）
點評：本題主要考查由等差中項法證明數列是等差數列進而求等差數列的通項公式、由遞推公式求證等比數列，運用遞推公式時一定要注意n≥2的條件及對n=1的檢驗；錯位相減求和是數列求和的重要方法，要注意掌握．