Question

如圖，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥BC，E，F分別是A₁B，AC₁的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：平面AEF⊥平面AA₁B₁B；
（3）若A₁A=2AB=2BC=2a，求三棱錐F-ABC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）證明EF∥BC，可得EF∥平面ABC；
（2）證明平面AEF⊥平面AA₁B₁B，只需證明EF⊥平面ABB₁A₁；
（3）V_E-ABC=

1

2

VA1-ABC，即可求三棱錐F-ABC的體積．

解答： （1）證明：連結A₁C．
∵直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AA₁C₁C是矩形，
∴點F在A₁C上，且為A₁C的中點．
在△A₁BC中，∵E，F分別是A₁B，A₁C的中點，∴EF∥BC．  …（2分）
又∵BC?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF∥平面ABC．   …（4分）
（2）證明∵直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，B₁B⊥平面ABC，∴B₁B⊥BC．
∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF，B₁B⊥EF．  …（6分）
∵B₁B∩AB=B，∴EF⊥平面ABB₁A₁．          …（8分）
∵EF?平面AEF，∴平面AEF⊥平面ABB₁A₁．  …（10分）
（3）解：V_E-ABC=

1

2

VA1-ABC=

1

2

×

1

2

×S△ABC×AA1=

1

2

×

1

3

×

1

2

a2×2a=

a3

6

  …（14分）

點評：本題考查線面平行、垂直的判定，考查面面垂直，考查錐體體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．