Question

已知{a_n}是正數組成的數列，a₁＝1，且點(，a_n＋1)( n ∈N^*)在函數y＝x²＋1的圖象上．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)若數列 滿足b₁＝1，，求證：．

Answer 1

(1); (2) 證明過程見試題解析．

試題分析：(1)將點的坐標代入函數可得a_n＋1－a_n＝1，知是以1為公差，1為首項的等差數列，可得通項公式；(2)由所給條件，可得，對n分別取值后，用累加法得出的通項公式，則，命題可證．
解：(1) 由已知得a_n＋1＝a_n＋1，則a_n＋1－a_n＝1，又a₁＝1，
所以數列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數列,
故a_n＝1＋(n－1)1＝n．                                4分
(2)由(1)知，a_n＝n，從而－＝2ⁿ．
＝(－)＋(－)＋ ＋(b₂－b₁)＋b₁ ,
＝2^n－1＋2^n－2＋ ＋2＋1＝＝－1．
因為＝(2ⁿ－1)(2^n＋2－1)－(2^n＋1－1)²      
＝(2^2n＋2－2^n＋2－2ⁿ＋1)－(2^2n＋2－2·2^n＋1＋1),
＝<0，
所以．                             12分