Question

(本小題滿分16分)
已知，其中是自然常數，
(1)討論時, 的單調性、極值；
(2)求證：在（1）的條件下，；
(3)是否存在實數，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.

Answer 1

（1）的極小值為；
（2），當時，；
（3） 。

(I)當a=1時,f(x)的解析式確定,然后利用導數研究其單調性、極值即可.
(2)在(1)條件下,可確定出的最小值,然后再利用導數研究的最大值即可.只需證明即可.
(3)先假設存在實數，使有最小值3，,
然后求出f(x)的導數,利用其導數研究其最小值,根據最小值等于3,求a,看a值是否存在.
（1）   ------------2分
當時，，此時為單調遞減
當時，，此時為單調遞增
的極小值為--------------------------4分
（2）的極小值，即在的最小值為1
   令
又    ------------------------6分
當時
在上單調遞減
 ---------------7分
當時，------------------------------8分
（3）假設存在實數，使有最小值3，

①當時，由于，則
函數是上的增函數

解得（舍去） ---------------------------------12分
②當時，則當時，
此時是減函數
當時，，此時是增函數

解得 ---------------------------------16分