Question

我們把由半橢圓（x≥0）與半橢圓（x≤0）合成的曲線稱作“果圓”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如圖，設點F₀，F₁，F₂是相應橢圓的焦點，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圓”與x，y軸的交點，M是線段A₁A₂的中點．
（1）若△F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；
（2）設P是“果圓”的半橢圓（x≤0）上任意一點．求證：當|PM|取得最小值時，P在點B₁，B₂或A₁處；
（3）若P是“果圓”上任意一點，求|PM|取得最小值時點P的橫坐標．

Answer 1

解：（1）∵，
∴，
于是，
所求“果圓”方程為，．
（2）設P（x，y），則=，
∵，
∴|PM|²的最小值只能在x=0或x=-c處取到．
即當|PM|取得最小值時，P在點B₁，B₂或A₁處．
（3）∵?|A₁M|=|MA₂|，且B₁和B₂同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，
所以，由（2）知，只需研究P位于“果圓”的半橢圓上的情形即可．=．
當，即a≤2c時，|PM|²的最小值在時取到，
此時P的橫坐標是．
當，即a＞2c時，
由于|PM|²在x＜a時是遞減的，|PM|²的最小值在x=a時取到，此時P的橫坐標是a．
綜上所述，若a≤2c，當|PM|取得最小值時，點P的橫坐標是；
若a＞2c，當|PM|取得最小值時，點P的橫坐標是a或-c．
分析：（1）根據焦點F₀，F₁，F₂的坐標，分別求得|F₀F₂|和|F₁F₂|進而求得c²，則a可求得，進而求得果園的方程．
（2）設P（x，y），則|PM|可求，根據求得∴|PM|²的最小值只能在x=0或x=-c處取到．即|PM|取得最小值時，P在點B₁，B₂或A₁處．原式得證．
（3）根據題意可知研究P位于“果圓”的半橢圓上的情形即可．先表示出|PM|進而根據x的范圍確定a和c不等式關系，看a≤2c時，|PM|²的最小值在時取到，根據|PM|²在x＜a時是遞減的進而可知|PM|²的最小值在x=a時取到，進而分別求得P的坐標．
點評：本題主要考查了橢圓的應用．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．