Question

我們把由半橢圓（x≥0）與半橢圓（x≤0）合成的曲線稱作“果圓”，其中a²=
b²+c²，a＞0，b＞c＞0。
如圖，設(shè)點F₀，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是相應橢圓的焦點，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圓”與x，y軸的交點，M是線段A₁A₂的中點，
（1）若△F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形，求該 “果圓”的方程；
（2）設(shè)P是“果圓”的半橢圓（x≤0）上任意一點，求證：當|PM|取得最小值時，P在點
B₁，B₂或A₁處；
（3）若P是“果圓”上任意一點，求|PM|取得最小值時點P的橫坐標。

Answer 1

解：（1）∵，
∴，
于是，
所求“果圓”方程為。
（2）設(shè)P（x，y），則
，
，
∴的最小值只能在x=0或x=-c處取到，
即當|PM|取得最小值時，P在點B₁，B₂或A₁處；
（3），且B₁和B₂同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，
所以，由（2）知，只需研究P位于“果圓”的半橢圓上的情形即可，
，
當，即a≤2c時，的最小值在時取到，
此時P的橫坐標是；
當，即a＞2c時，由于在x＜a時是遞減的，的最小值在x=a時取到，
此時P的橫坐標是a；
綜上所述，若a≤2c，當|PM|取得最小值時，點P的橫坐標是；
若a＞2c，當|PM|取得最小值時，點P的橫坐標是a或-c。