Question

【題目】已知正三棱錐A﹣BCD的外接球半徑R= ，P，Q分別是AB，BC上的點，且滿足 = =5，DP⊥PQ，則該正三棱錐的高為（ ）
A.
B.
C.
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵正三棱錐中對棱互相垂直，∴AC⊥BD， ∵P，Q分別是AB，BC上的點，且滿足 = =5，
∴PQ∥AC，∵DP⊥PQ，∴DP⊥AC，
∴AC⊥平面ABD，
又∵該三棱錐是正三棱錐，∴正三棱錐A﹣BCD的三條側棱相等且互相垂直，
將正三棱錐A﹣BCD補成一個正方體，則正方體的體對角線就是其外接直徑，
故2R= ，
由正方體的性質知正方體的體對角線的三分之一即為該正三棱錐的高，
該正三棱錐的高為 ．
故選：A．
【考點精析】利用棱錐的結構特征對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方．